Derivada

Dentro da área da matemática, uma das mais básicas e importantes áreas é o Calculo Diferencial e Integral, ou mais conhecido como Calculo, pois através dele foi possível o desenvolvimento de toda a base da Matemática Avançada e Física. Este foi desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se iniciaram o estudo das taxas de variação e grandezas. Assim se iniciou o estudo das chamadas derivadas e integrais.

Trigonometricas

Conceito e Definição de Derivada

O conceito de derivada foi introduzido no século XVII por Leibniz e Newton (conhecidos como pais do Cálculo), porém a noção já havia sido observado por Fermet anteriormente. A idéia de derivada é ligada à noção de reta tangente uma curva de um plano. Uma idéia inicial simples é pensar em uma circunferência de centro no ponto O e tem um ponto P, pertencente a esta. Assim, teremos uma reta tangente que passa pelo ponto P e que é perpendicular ao segmento OP. Após entender o conceito de reta tangente, teremos de tentar fixar o conceito de reta tangente a uma Curva.

Do ponto de vista geométrico, podemos chegar à reta tangente de um ponto X um gráfico de função pensando em uma reta que se aproxima mais a gráfico da função nas vizinhanças desse ponto. Assim a reta tangente é determinada pelo coeficiente angular e pelo ponto de tangencia. Seguindo essa idéia, podemos pensa numa derivada com sendo a variação de uma função (∆f) dado uma variação em x (∆x), representando ∆y = [ f(x + ∆x) – f(x) ] / ∆x

Assim, para uma definição formal, teremos que quando ∆x->0, a derivada é o limite a seguir: f´(x) = lim (∆x->0) [ f(x + ∆x) – f(x) ] / ∆x. Sendo uma derivada  uma variação de uma função, podemos exemplificar basicamente como sendo a velocidade. Velocidade é a variação do espaço em função do tempo.

Calculos

Princípios de Função

Um dos conceitos de funções reais é a continuidade, por exemplo, uma função f(x)=1/x, não é contínua no ponto 0. Nas derivadas, temos o conceito de diferenciavel. Exemplo a função 1/x não é diferenciavel no ponto 0, pois não existe uma derivada no ponto 0. Portanto se uma função não é continua no ponto x, ela não é diferenciavel. Porém a recíproca não é verdadeira, por exemplo, a função modular f(x) = |x|, ela não é diferenciavel no ponto 0, porém continua sendo continua.

Propriedades de Derivadas

As derivadas possuem certas propriedades, tais como derivadas das funções abaixo:

1. Funções Polinomiais: d(xn)/dx = n * x n – 1
2. Constantes d(c) /dx = 0  – c seja uma constante 0,1,2,3,…
3. Constantes multiplicadas por funções polinomiais: d(cx) /dx = c * f’(x)
4. Adição de funções: d(f +g) /dx = f ‘ + g’
5. Multiplicações de funções: d(f*g) /dx = f’ * g + f * g’
6. Divisão de funções: d(f/g) /dx = [f’*g – f*g’] /g²

Derivada

Podemos Mostrar Também Casos Para Funções:

Derivada de Funçoes Trigonométicas d(sen x) /dx = cos x, d(cos x)/dx = – cos x;

Derivada de Funções Exponenciais: d(ex)/dx = ex.