Progressão Aritmética

Com todo perfil do professor brasileiro nas escolas chamamos de seqüência numérica a qualquer conjunto de números reais ou complexos que seja ordenada e Progressão Aritmética é toda a seqüência ordenada (tem uma lei de formação) em que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior, acrescido de um valor que é constante e que se denomina razão da progressão aritmética. Elas podem ainda ser crescentes, constantes ou decrescentes de acordo com a razão que pode ser: r>0, r=0 e r<0.

Progressão Aritmética

Progressão Aritmética

Exemplo: A (3,8,13,18,23,28) é uma seqüência numérica e é também uma progressão aritmética crescente pois a razão r=5, portanto >0. Se somarmos a razão 5 a cada termo da progressão teremos o termo subseqüente. Temos 3+5=8; 8+5=13; 13+5=18 e assim sucessivamente até o último termo.

Exercícios

Exercícios

Já a seqüência A (7, 7, 7, 7, 7, 7, 7,….) é uma progressão aritmética constante pois que a razão r=0, enquanto que na seqüência A (9,6,3,0,-3,-6,-9) já temos uma progressão aritmética decrescente pois a razão r = -3, portanto < zero. Assim 9+(-3)=6; 6 + (-3) = 3 e assim sucessivamente até o último termo.

Questões

Razão da progressão

Do que vimos acima, calcular a razão de uma progressão pode ser como Brincadeiras de Crianças uma vez que facilmente podemos deduzir que, se subtrairmos qualquer termo da progressão de seu antecedente terá a razão.

Exemplo:
Na progressão aritmética PA (3, 5, 7, 9, 11,13…….) temos que: 9-7=2, da mesma forma que: 7-5=2 e 5-3=2. Como podemos ver teremos sempre o mesmo valor constante que é a razão.

Termo Geral

Segundo professores das escolas brasileiras na progressão PB=( b1, b2, b3, … , bn,) os termos da progressão são representados por  b, b2, b3, … bn, que são, o primeiro, o segundo, o terceiro e o enésimo termos e assim com base na definição de progressões aritméticas podemos então escrever que: b₂=b₁+r

b3=b2+r=(b1+r)+r=b1+2r

b4=b3+r=(b1+2r)+r=b1+3r e de acordo com as igualdades podemos deduzir que a formula do termo geral pode ser dado por: bn=b1+(n–1).r

Exemplos:

1)Qual o centesimo número positivo e ímpar?                       

Tendo a PB: ( 1, 3, 5, 7, 9, … ) sendo o primeiro termo b1= 1, com razão r = 2 e querendo calcular o centsimo termo b100. Temos ainda que, n = 100 e então podemos escrever:

b100 = b1 + (100 – 1).2 = 1 + 99.2 = 1 + 198 = 199, que é o centesimo termo ímpar.

2) Dada uma progressão aritmética PB em que o 5º termo é 60 e sendo o vigésimo 120, vamos calcular a razão desta progressão.                                           

Temos que b5 = 60 e b20 = 120. De acordo com a fórmula anterior, podemos escrever: b20 = b5 + (20 – 5). r que substituindo fica: 120 = 60 + (20 – 5)r ; 120 – 60 = 15r ; e daí resulta, 60 = 15r e então temos que 60/15 =r e logo r =4

3)Qual o número de termos que possui uma progressão aitmética dada por PB: (200,198,196,…,20)?

Temos b1 = 200, r = 198 -200 = -2 e bn = 20 e desejamos calcular n.

Substituindo na fórmula do termo geral, bn=b1+(n–1)  fica: 20 = 200 + (n – 1). (- 2) ; logo, 20 – 200 = – 2n + 2 e então teremos 20 – 200 – 2 = – 2n de onde podemos concluir que – 182 = – 2n  logo n= -182/-2 de onde vem que n= 91 e portanto, a PB possui 91 termos.

Propriedades das Progressões Aritméticas

1ª) Em toda  Progressão aritmética, cada termo, é igual a média aritmética entre seu antecedente e o conseqüente.

Exemplo:

Na PA ( 7,12,17, 22, 27) temos: 7+17=24/2=12 ou 17+27=44/2=22

2ª) Em toda a progressão aritmética, os termos que equidistam dos extremos somados darão um valor constante.

Exemplo:

Na PA ( 5, 8, 11, 14, 17, 20) temos que: 5+20= 25  8+17= 25 e 11+14= 25

Soma dos termos

Nos vestibulares podemos fazer isso somando cada termo da progressão aritmética quando conhecemos todos, ou então através da formula:

Sn=(b1+bn).n / 2

Exemplo:

1)Dos primeiros 200  números pares e positivos encontre a soma. Teremos então a PB: ( 2, 4, 6, 8, 10, … )

Antes de tudo temos que saber o valor do termo b200 e para isso vamos aplicar a fórmula do termo geral e então teremos: b200 = b1 + (200 – 1).r = 2 + 199.2 = 400.

Logo, Sn = [(2 + 400). 200] / 2 = 40.200

Temos então que a soma total dos primeiros duzentos números pares e positivos será igual a 40200.

2)Calcule o número de termos em uma progressão aritmética onde temos que o primeiro termo é 1, o ultimo é 199 e a soma dos termos é 40000.

Temos   b1 =1                bn =199                 Sn =  =40000        n= ?

Vamos usar a formula da soma:

Sn=(b1+bn).n / 2  e substituindo teremos:

40.000= (1+199)n /2  e daí vem 2.40000= 200.n logo teremos que:

n=80000/200 e então resulta que n=400 ou seja, o numero de termos desta progressão é 400.

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Categoria(s) do artigo:
Escolar

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